Matematica

Função Afim

Entenda as funções de primeiro grau, seus gráficos e propriedades fundamentais

Definição

Uma função afim (ou função de primeiro grau) é toda função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por:

f(x) = ax + b

onde:

$a \in \mathbb{R}^*$ (coeficiente angular - deve ser diferente de zero)
$b \in \mathbb{R}$ (coeficiente linear)

Observação importante: Se $a = 0$ , a função deixa de ser afim e passa a ser uma função constante $f(x) = b$ .

Gráfico da Função Afim

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não vertical.

Elementos importantes do gráfico

Coeficiente Linear ( $b$ )

O valor de $b$ representa o ponto onde a reta intercepta o eixo y.

Coordenadas do ponto: $(0, b)$

Raiz (ou Zero) da Função

A raiz é o valor de $x$ para o qual $f(x) = 0$ .

Para encontrar a raiz:

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

Coordenadas do ponto: $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$

Coeficiente Angular ( $a$ )

O valor de $a$ determina a inclinação da reta:

Se $a > 0$ : função crescente (reta sobe da esquerda para direita)
Se $a < 0$ : função decrescente (reta desce da esquerda para direita)

Comportamento da Função

Quando $a > 0$

A função é crescente em todo o seu domínio.

    x₁ < x₂  ⟹  f(x₁) < f(x₂)

Características:

À medida que $x$ aumenta, $f(x)$ também aumenta
A reta forma um ângulo agudo com o eixo x (sobe)

Quando $a < 0$

A função é decrescente em todo o seu domínio.

    x₁ < x₂  ⟹  f(x₁) > f(x₂)

Características:

À medida que $x$ aumenta, $f(x)$ diminui
A reta forma um ângulo obtuso com o eixo x (desce)

Estudo do Sinal

O estudo do sinal analisa quando a função é positiva, negativa ou nula.

Método prático

1. Encontre a raiz

Calcule $x_0 = -\frac{b}{a}$

2. Analise o sinal de $a$

Se $a > 0$ : a função é negativa antes da raiz e positiva depois
Se $a < 0$ : a função é positiva antes da raiz e negativa depois

Tabela de sinais

Para $a > 0$ :

Intervalo	Sinal de $f(x)$
$x < -\frac{b}{a}$	$f(x) < 0$ (negativo)
$x = -\frac{b}{a}$	$f(x) = 0$ (zero)
$x > -\frac{b}{a}$	$f(x) > 0$ (positivo)

Para $a < 0$ :

Intervalo	Sinal de $f(x)$
$x < -\frac{b}{a}$	$f(x) > 0$ (positivo)
$x = -\frac{b}{a}$	$f(x) = 0$ (zero)
$x > -\frac{b}{a}$	$f(x) < 0$ (negativo)

Exemplos Práticos

Exemplo 1: Identificando os coeficientes

Dada a função $f(x) = 3x - 6$ :

Coeficiente angular: $a = 3$ (função crescente)
Coeficiente linear: $b = -6$ (intercepta y em -6)
Raiz: $x = -\frac{(-6)}{3} = 2$

Como $a = 3 > 0$ , a função é crescente e a reta sobe da esquerda para direita.

Exemplo 2: Estudo do sinal

Para $f(x) = -2x + 8$ :

Raiz: $-2x + 8 = 0 \implies x = 4$
Sinal de a: $a = -2 < 0$ (decrescente)

Resultado:

$f(x) > 0$ quando $x < 4$
$f(x) = 0$ quando $x = 4$
$f(x) < 0$ quando $x > 4$

Resumo Visual

graph LR
    A[Função Afim: f(x) = ax + b] --> B{a > 0?}
    B -->|Sim| C[Função Crescente]
    B -->|Não| D[Função Decrescente]
    C --> E[Reta sobe ↗]
    D --> F[Reta desce ↘]

Atenção: Lembre-se que na função afim, $a$ nunca pode ser zero. Se $a = 0$ , temos uma função constante!

Dicas para Exercícios

Sempre identifique $a$ e $b$ primeiro
Calcule a raiz usando $x = -\frac{b}{a}$
Verifique o sinal de $a$ para determinar se é crescente ou decrescente
Desenhe um esboço do gráfico para visualizar melhor

Função Afim

Entenda as funções de primeiro grau, seus gráficos e propriedades fundamentais

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Definição Gráfico da Função Afim Elementos importantes do gráfico Coeficiente Linear (

b

)Raiz (ou Zero) da Função Coeficiente Angular (

a

)Comportamento da Função Quando

a > 0

a < 0

Estudo do Sinal Método prático 1. Encontre a raiz 2. Analise o sinal de

a

Tabela de sinais Exemplos Práticos Exemplo 1: Identificando os coeficientes Exemplo 2: Estudo do sinal Resumo Visual Dicas para Exercícios